人間の限界を数学で捉える

0.99999......=1という証明です

首を傾げた人も多いでしょう。0.99999......とは1に限りなく近いが1より少し小さい数字のはず。それが1とイコールで結ばれるとは一体どういう事なのか。私も正直、初めは全く理解できなませんでした。そんなあなたは次の問題を見ください

3
分の1を小数点のつく数字で表すと0.33333......になります。これを3倍すると0.99999......になります。しかし実際には3
分の1の3倍は1です。ここにパラドックスが生じています

このパラドックスを解消するには0.99999......=1という証明をするか、3
分の1≠0.33333......という証明をしなければなりません。このうち前者を証明したのが今回の数式です。内容は以下の通り

 X=0.99999......

これを、等式を崩さずに10倍すると10X=9.99999.....

元が同じ数式のため、差し引いて9で割って揃えれば同じ数式になるはず

10X=9.9999.....

-) X=0.9999.....

￣￣￣￣￣￣￣￣

  9X=9

    X=1

X=1という数式になってしまいました。つまり0.99999.....=X=1

→0.99999......=1

この引き算では桁が一つづつ永久にズレている事を気にする人がいます。しかし、そもそも永久に続く少数ならば永久にズレていたとしても関係ありません。お互いに永久なのだから、永久から永久を差し引いて0になるのです

これは無限や永久といった概念が自己矛盾していることの証明とも言えます。一桁ずれたことを答えに反映するためには無限という概念を否定する必要があり、無限という概念を認めた上で式を進めれば0.99999......=1になってしまいます。0.99999......と1の間にあるものを全否定するわけですから、これも実質的に無限という概念の否定になります。あちら立てればこちら立たず、ジレンマなのです

さらに言えば、これは人間の限界を示した数式です。数学を含む全ての学問が人間の認識の上に作られたものである以上、人間が認識し得ないものを数学で表現できるはずがない。無限に続く少数というものは想定こそできるものの、認識できないものです

この数式を考察するまで私は、数学というのはどこか無機質で人間味に欠ける学問だと感じていました。数値というあまりに明確すぎる境界線の作り方が、私たちの持つ曖昧な感性を否定しているように感じたためです。しかし、今は違う見解を持っています。数学は数学なりのやり方でしっかりと人間の形を表現していたのです